Đồ thị hàm sin, thể hiện hai chu kỳ đầy đủ

Ví dụ, hàm sin là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 π {\displaystyle 2\pi } , vì

sin ⁡ ( x + 2 π ) = sin ⁡ x {\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x}

đối với mọi giá trị của x {\displaystyle x} . Hàm này lặp lại trên những khoảng 2 π {\displaystyle 2\pi } (xem đồ thị).

Các ví dụ hàng ngày có thể thấy sự tuần hoàn theo thời gian; như kim đồng hồ hoặc pha Mặt Trăng thể hiện tính tuần hoàn. Chuyển động tuần hoàn là chuyển động trong đó vị trí của hệ được biểu diễn theo một hàm tuần hoàn, với cùng một chu kỳ như nhau.

Đối với một hàm xác định trên số thực hoặc số nguyên, điều này có nghĩa rằng toàn bộ đồ thị có thể vẽ ra bằng cách sao chép một phần đặc biệt, lặp lại theo những khoảng đều đặn.

Ví dụ hàm tuần hoàn khác là hàm f {\displaystyle f} cho "phần thập phân" theo đối số của nó. Chu kỳ của nó bằng 1. Chẳng hạn,

f ( 0 , 5 ) = f ( 1 , 5 ) = f ( 2 , 5 ) = ⋯ = 0 , 5 {\displaystyle f(0,5)=f(1,5)=f(2,5)=\cdots =0,5}

Đồ thị của hàm f {\displaystyle f} có dạng lưỡi cưa.

Đồ thị của f ( x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle f(x)=\sin(x)} và g ( x ) = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle g(x)=\cos(x)} ; cả hai hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π.

Các hàm lượng giác sin và cos là những hàm tuần hoàn, với chu kỳ 2π. Phạm vi nghiên cứu của chuỗi Fourier dựa trên ý tưởng rằng có thể coi các hàm tuần hoàn 'bất kỳ' bằng tổng của các hàm lượng giác với chu kỳ giống nhau.

Theo định nghĩa trên, một số hàm kỳ lạ, như hàm Dirichlet, cũng là hàm tuần hoàn; trong trường hợp của hàm Dirichlet, bất kỳ số hữu tỷ khác 0 nào đều tuần hoàn.